Históricamente, el éxito de la ciencia se ha basado en la idea de descomponer los sistemas en sus unidades fundamentales. Sin embargo, para entender las estructuras complejas es necesario adaptar otra perspectiva, que permita entender la interconexión de los elementos que las integran. Este es el punto de partida del libro de divulgación A merced de las redes (Universo de Letras, 2023), de Ernesto Estrada, profesor de investigación del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) en el Instituto de Física Interdisciplinar y Sistemas Complejos.
El objeto matemático que describe —de forma simplificada— las relaciones entre elementos es la red, o grafo: un conjunto de puntos —denominados vértices— y uniones —que se llaman aristas— entre ellos. Sirven para capturar la información clave de numerosas situaciones del mundo real. Estrada presenta en su libro numerosos ejemplos: relaciones sociales, epidemias, estructuras anatómicas, redes de genes, metabólicas o neuronales, conflictos sociales, redes de transportes. El que ofrece mayor análisis matemático es el primero de ellos, las redes sociales. En este caso, los puntos son personas y los vértices pueden ser conocimiento mutuo, amistad o colaboración.
Estrada habla de diferentes modelos matemáticos que simulan la formación de las redes sociales y que permiten estudiar, de forma simplificada, las estructuras de una red real. El primero, desarrollado por los matemáticos Paul Erdös y Alfred Rényi, parte de un número n de individuos que no se conocen previamente —por tanto, al inicio tiene n vértices y ninguna arista— y de un número k que indica cómo de propicio es el ambiente para que se establezcan relaciones. En cada simulación se otorga un valor aleatorio a cada par de nodos; si este es mayor que k, se crea un vértice entre esos dos vértices, si es menor, no.
Para valorar si el resultado obtenido se parece a lo que se observa en las redes sociales de la realidad, se puede comprobar si se mantienen las características principales de las redes del mundo real. Estas características permiten entender la dinámica de la red, es decir, como se transmite la información dentro de ella. Una de ellas es la densidad de la red, que se corresponde con la cantidad de conexiones existentes entre los elementos. Es el porcentaje del número de conexiones existentes, sobre todas las que podría haber en la red. Si todos los elementos están relacionados con el resto, la red es completa.
Otra propiedad importante es la conectividad de un grafo: será conexo si siempre es posible llegar de un nodo a cualquier otro, a través de las aristas del grafo. Tal y como explica Estrada en el libro, casi todas las redes sociales del mundo son prácticamente conexas. Por ejemplo, el 92,2% de los autores de ciencias biomédicas están relacionados —en este caso, significa que tienen una publicación conjunta en la base de datos de artículos Medline— entre sí, mientras que en matemáticas son el 82% (usando la base Mathematical Reviews). Esto significa que se puede transmitir la información entre prácticamente todos los miembros de la red. Además, son muy poco densas: ninguna de las redes anteriores supera una densidad de 0,02%; es decir, no hace falta que estén comunicados todos con todos. También el modelo de Erdös y Rényi crea redes conexas y con poca densidad: dependiendo de lo propicio que sea el ambiente a la socialización, pero, incluso para valores relativamente bajos este parámetro, las redes que aparecen son de ese tipo.
En una red conexa, se puede calcular la distancia del camino más corto que une cada par de elementos: por ejemplo, si Ana y Carlos no colaboran, pero Ana colabora con Beatriz, que lo hace con Carlos, la distancia entre Ana y Carlos es de 2. La media de estos valores —que se llama longitud media de los caminos simples, L— se relaciona con cuántos pasos hay que dar, por lo general, para llegar de un punto a otro en la red. En la gran mayoría de las redes sociales del mundo real, este número es sorprendentemente pequeño —por ejemplo, 4,6 en la red de colaboración en ciencias biomédicas—. Es lo que se conoce como el efecto del mundo pequeño o la teoría de los seis grados de separación. En el modelo de Erdös y Rényi, L tiene un valor cercano al logaritmo del número de nodos de partida. Por ejemplo, partiendo de cinco mil nodos, el L promedio (para diferentes ambientes) es de 8,5 pasos y, con cinco millones de nodos, 15,4, es decir, se parece a lo que se observa en la realidad.
Sin embargo, hay otras características de las redes sociales del mundo real que no se reflejan en el modelo de Erdös y Rényi. Por ejemplo, la llamada transitividad de la red, que indica cómo de probable es que en una red, si A es amigo de B, que es amigo de C, entonces A y C también sean amigos. Frente a ello, se han propuesto otros modelos, como el de Steven Strogatz y Duncan Watts o el de Albert-Lazslo Barabási y Réka Albert, que capturan mejor algunos aspectos de las redes sociales del mundo real. Todos ellos permiten acercarse a la complejidad de estos fenómenos con modelos matemáticos, mucho más sencillos de estudiar.
Ágata Timón es coordinadora de la Unidad de Cultura Matemática del ICMAT.
Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.
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